Bertrand Russell (1872-1970)

English:

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.

Bertrand Russell (Mysticism and Logic, 1919)

Thou shalt not follow a multitude to do evil, was the biblical advice Bertrand Russell got from his grandmother and which accompanied him throughout his whole life. He was born in the bosom of an aristocratic family in Wales, in 1872. He was interested in mathematics and religion from an early age; by reading Euclid a passion aroused in him which never died out. He studied in the Trinity College of Cambridge. In addition to working in mathematics and logic, he was a prolific author of philosophical, political and historical texts, among which The Problems of Philosophy, Our Knowledge of the External World, Mysticism and Logic, What I Believe, Why I Am Not a Christian, The Conquest of Happiness and A History of Western Philosophy stand out. He was imprisoned for being a pacifist in times of war. He was considered a dangerous person: he wanted peace between nations. In prison he wrote another memorable book, Introduction to Mathematical Philosophy, of intense lucidity.

He became adhered to Logicism, a doctrine which maintains that mathematics can be reduced to logic. He then decided to direct his efforts in this direction.

One of his first attempts to carry out the logistic project was the book The Principles of Mathematics, in which he exhibits his vision and the advances of his day in this area; he criticizes Frege’s set theory and logic theory and presents the paradox which carries his name:

Let C be the set of all those sets which do not contain themselves.

Suppose C is not an element of itself, then by definition, it has to be an element of C; and if C is an element of C, it contradicts the definition that C has to be the set of all those sets which do not contain themselves. This means, C is an element of C if and only if C is not an element of C. A contradiction.

In symbols, this can be expressed in the following way:

Consider . Then .

It grew in popularity in the form of the barber paradox: The mayor ordered the barber of a town to shave exclusively those who do not shave themselves. Then, who shaves the barber? If he does himself, he is acting contrary to the indication, given that he only is permitted to shave those who do not shave themselves, but if he does not shave himself, then he should do it, because he has to shave all those who do not shave themselves. This means, if he does not shave himself, then he should do it and if he does it, he should not. Once again, a contradiction.

This statement, of simple appearance, exhibited the inconsistency of the set theory by Cantor and Frege. It was now evident that a new and better theory was needed.

Together with Alfred North Withehead (whose student and friend he was) he wrote the three volumes of the impressive Principia Mathematica. He proposes in it a group of entirely logical axioms in order to derive all mathematical knowledge, although he develops only set theory, cardinal numbers, ordinal numbers and the real numbers in it; he presents and uses the Theory of Types, which has a hierarchical order to prevent paradoxes and which, without stopping from being brilliant, rises rapidly to impracticability. More than threehundred very arduous pages are needed to prove that 1+1=2.

In spite of the excellence of the work, the system’s validity and significance remained open at the time of publication; in other words: if the system was consistent and also complete. Years later, the issue was solved negatively by Gödel.

In 1950 he was awarded the Nobel Prize in Literature (not for one but his whole work) in recognition of his varied and significant writings in which he champions humanitarian ideals and freedom of thought. He died in 1970 at the age of 97. In the prologue of his Autobiography we can read: Three passions, simple but overwhelmingly strong, have governed my life: the longing for love, the search for knowledge, and unbearable pity for the suffering of mankind. These passions, like great winds, have blown me hither and thither, in a wayward course, over a deep ocean of anguish, reaching to the very verge of despair. […] This has been my life. I have found it worth living, and would gladly live it again if the chance were offered me.

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Español:

La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar.

Bertrand Russell (Mysticism and Logic, 1919)

No seguirás la multitud de los que obran mal, fue el consejo bíblico que Bertrand Russell recibió de su abuela y que guió toda su vida. Nació en el seno de una familia aristocrática en Gales, en 1872. De chico se interesó por la matemática y la religión; la lectura de Euclides despertó en él una pasión que nunca se extinguió. Estudió en el Trinity College de Cambridge. Además de trabajar en matemática y lógica fue un prolífico autor de textos filosóficos, políticos e históricos, entre los cuales de destacan Los problemas de la filosofía, Nuestro conocimiento del mundo exterior, Misticismo y Lógica, Lo que yo creo, Por qué no soy cristiano, La conquista de la felicidad e Historia de la filosofía occidental. Fue preso por ser pacifista en tiempos de guerra. Lo consideraban una persona peligrosa: quería la paz de las naciones. En la cárcel escribió otro libro memorable, Introducción a la filosofía matemática, de intensa lucidez.

Adhirió al Logicismo, doctrina que sostiene que la matemática puede reducirse a la lógica. Decidió entonces dirigir sus esfuerzos en esa dirección.

Uno de sus primeros intentos de realizar el proyecto logicista fue el libro Los principios de la matemática, en el que expone su visión y los avances de la época en el área; critica la teoría de conjuntos y lógica de Frege, y presenta la paradoja que lleva su nombre:

Sea C el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.

Si C no es miembro de sí mismo, entonces por definición, debe ser miembro de C; y si C es miembro de sí mismo, contradice su definición de ser el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Es decir, C es miembro de C si y sólo si C no es miembro de C. Una contradicción.

Simbólicamente, puede expresarse de la siguiente manera:

Sea . Entonces .

Se popularizó bajo la forma de La paradoja del barbero: Por orden del alcalde, el barbero de un pueblo está obligado a afeitar exclusivamente a quienes no se afeitan a sí mismos. Entonces ¿quién afeita al barbero? Si lo hace, está actuando en contra de su obligación, ya que sólo puede afeitar a quienes no se afeitan a sí mismos, pero si no lo hace debería hacerlo, ya que está obligado a afeitar a quienes no se afeitan a sí mismos. Es decir, si se afeita no debe hacerlo, y si no lo hace debe hacerlo. Nuevamente, una contradicción.

Este enunciado, en apariencia sencillo, expuso la inconsistencia de la Teoría de Conjuntos desarrollada por Cantor y Frege. Era evidente, entonces, la necesidad de una nueva y mejor teoría.

Escribió, junto a Alfred North Withehead (de quien fue alumno y también amigo), los tres volúmenes del imponente Principia Mathematica. En él, propone unos axiomas puramente lógicos para derivar todos los conocimientos matemáticos, aunque en el desarrollo solamente abarca la teoría de conjuntos, números cardinales, números ordinales y números reales; presenta y utiliza la Teoría de tipos, la cual tiene un orden jerárquico para evitar paradojas y que, sin dejar de ser brillante, escala rápidamente a ser impracticable. Se necesitan unas muy arduas trescientas páginas para llegar a demostrar que 1+1=2.

A pesar de la excelencia del trabajo, quedaba pendiente, al momento de su publicación, conocer la validez y el alcance del sistema; en otras palabras, saber si era consistente y también completo. Años después, la cuestión fue resuelta negativamente por Gödel.

En 1950 le fue otorgado  (no por una sino por todas sus obras) el Premio Nobel de Literatura, en reconocimiento de sus variados y significativos escritos en los que defiende ideales humanitarios y la libertad de pensamiento. Falleció en 1970 a los 97 años de edad. En el prólogo de su Autobiografía leemos: Tres pasiones simples, pero abrumadoramente intensas, han gobernado mi vida: el ansia de amor, la búsqueda del conocimiento y una insoportable piedad por el sufrimiento de la humanidad. Estas tres pasiones, como grandes vendavales, me han llevado de acá para allá, por una ruta cambiante, sobre un profundo océano de angustia, hasta el mismo borde de la desesperación. […] Ésta ha sido mi vida. La he hallado digna de vivirse, y con gusto volvería a vivirla si se me ofreciese la oportunidad.

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Deutsch:

Mathematik beihaltet nicht nur Wahrheit, sondern auch allerhöchste Schönheit – eine Schönheit kühl und streng wie die einer Marmorstatue, ohne Wirkung auf jenen Teil unserer Natur, den wir den Trieben zurechnen, ohne den glänzenden Staatm wie ihn die Malerei und Musik machen können, aber von erhabener Reinheit und fähig zu strengster Vollendung, wie sie nur ganz große Kunst aufweist.

Bertrand Russell (Mystik und Logik, 1919)

Du sollst nicht folgen der Menge zum Bösen, war der biblische Rat, den Bertrand Russell von seiner Großmutter bekam und der ihn das ganze Leben über geleitet hat. 1872 ist er im Schoß einer aristokratischen Familie in Wales geboren. Von klein auf interessierte er sich für Mathematik und Religion; das Lesen von Euklid’s Werk weckte in ihm eine Leidenschaft, die niemals erlosch. Er studierte am Trinity College in Cambridge. Er arbeitete in Mathematik und Logik, war aber auch ein ergiebiger Author philosophischer, politischer und historischer Texte, unter denen Probleme der Philosophie, Unser Wissen von der Außenwelt, Mystik und Logik, Woran ich glaube, Warum ich kein Christ bin, Eroberung des Glücks und Philosophie des Abendlandes herausstechen. Zu Kriegszeiten wurde er inhaftiert, weil er Pazifist war. Er wurde für eine gefährliche Person gehalten: er wollte Frieden zwischen den Nationen. In Haft schrieb er ein weiteres bemerkenswertes Buch, Einführung in die mathematische Philosophie, von größter Anschaulichkeit geprägt.

Er bekannte sich zum Logizismus, einer Doktrin, die die Meinung vertritt, dass die Mathematik auf die Logik reduziert werden kann. Er entschied sich dann dafür, seine Bemühungen in diese Richtung zu steuern.

Eines seiner ersten Versuche, das logizistische Projekt zu vollziehen, war das Buch Die Prinzipien der Mathematik, in welchen er seine Vision und die Fortschritte seiner Zeit im Gebiet darlegt; er kritisiert die Mengenlehre und die Logik von Frege und präsentiert das Paradoxon, das seinen Namen trägt:

Sei C die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.

Wenn C kein Element ihrer selbst ist, dann muss sie per Definition ein Element von C sein; und wenn C ein Element ihrer selbst ist, widerspricht das ihre eigene Definition, die Menge aller Mengen zu sein, die sich nicht selbst als Element enthalten. Das bedeutet, C ist ein Element ihrer selbst wenn und nur wenn C kein Element ihrer selbst ist. Ein Widerspruch.

Symbolish kann dies folgendermaßen ausgedrückt werden:

Sei . Dann gilt .

Veranschaulicht als Barbier-Paradoxon gewann das Paradoxon an Popularität: Der Bürgermeister befiehlt dem Barbier eines Dorfes, diejenigen zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren. Wer aber rasiert den Barbier? Wenn er das tut, so handelt er wider seinem Befehl, da er nur diejenigen rasieren darf, die sich nicht selbst rasieren, aber wenn er es nicht tut, dann solte er es tun, da era eben diejenigen resieren muss, die sich nicht selbst rasieren. Das bedeutet, wenn er sich rasierte, dann darf er das nicht tun und wenn er es nicht tut, dann muss er es machen. Erneut kommen wir zu einem Widerspruch.

Diese Aussage einfacher Natur gab die Inkonsistenz der Mengenlehre preis, die Cantor und Frege entwickelten. Es wurde folglich klar, dass eine neue und bessere Theorie von Nöten war.

Er schrieb zusammen mit Alfred North Whitehead (dessen Schüler und Freund er war) die drei Volumen des beeindruckenden Principia Mathematica. In diesem schlägt er eine Gruppe an ausschließlich logischen Axiomen vor, um aus denen die Gesamtheit der mathematischen Kenntnis zu folgern, obwohl im Verlauf desselben nur die Mengenlehre, die Kardinalzahlen, die Ordinalzahlen und die reelen Zahlen umfasst werden; er stellt die Theorie der Typen vor, die eine hierarchische Ordnung beinhaltet, um Paradoxe zu vermeiden, die aber, obwohl an sich brillant, schnell ins Undurchfürbare eskaliert. Mehr als dreihundert beschwerliche Seiten sind notwendig, um zu beweisen, dass 1+1=2 gilt.

Trotz der , blieg zum Zeitpunkt der Veröffentlichung ihre Gültigkeit und ihre Bedeutung offen; in anderen Worten: es blieb offen, ob sie konsistent und vollständig war. Jahre später wurde diese Frage von Gödel negativ beantwortet.

Im Jahre 1950 wurde ihm (nicht für eines, sondern für die Gesamtheit seiner Werke) der Nobelpreis in Literatur verliehen, als eine Anerkennung für seine vielseitige und bedeutungsvolle Verfasserschaft, worin er als Vorkämpfer der Humanität und Gedankenfreiheit hervortritt. Er starb 1970 im Alter von 97 Jahren. Im Vorwort seiner Autobiographie konnen wir lesen: Drei einfache, aber heftige Leidenschaften haben mein Leben beherrscht: das Verlangen nach Liebe, das Streben nach Erkenntnis und das Erbarmen mit der leidenden Menschheit. Diese Leidenschaften haben mich wie stürmische Winde hierhin und dorthin geblasen, auf einem eigensinnigen Kurs über einen tiefen Ozean von Seelenqualen, der bis dicht an den Rand der Verzweiflung reichte. […] Das war mein Leben. Ich fand es lebenswert und mit Freunde würde ich es erneut durchleben, wenn mir diese Möglichkeit offenstünde.