Kurt Gödel (1906-1978)

English:

But, despite their remoteness from sense experience, we do have something like a perception of the objects of set theory, as is seen from the fact that the axioms force themselves upon us as being true. I don’t see any reason why we should have less confidence in this kind of perception, i.e., in mathematical intuition, than in sense perception.

Kurt Gödel

It’s not a matter of vanity, nor one of timidity, that self-reference turns out to be risky. To talk about oneself in phylosophy, logic or mathematics frequently leads to unexpected and undesired situations. The difficulties can be tracked back to Ancient Greece (it seems that all works about human thinking can be tracked back to Ancient Greece); Eubulides of Miletus noticed it in a simple proposition, which he used to make think his followers, and possibly also to have fun with them, in which it is stated that this statement is false. A brief thinking unveils its nature: we find ourselves in the presence of a paradox, called the liar paradox. Many years later Gödel made use of this statement to prove the most unsettling truth of mathematical logic.

Kurt Friedrich Gödel was born 1906 in Brünn, when it stil was part of the Austro-Hungarian Empire. Due to his insatiable curiosity as a child, he was called Mister Why by his parents. No one in his family worked in exact sciences, he, on the contrary, started studying physics. Frequenting the meetings of the Vienna Circle, he discovered the book Introduction to Mathematical Phylosophy, by Bertrand Russell, and redirected his interest focus into mathematical logic, which according to his own words, is a science prior to all others, which contains the ideas and principles underlying all sciences. He got his Ph.D.  and worked teaching in the University of Vienna.

In his doctoral thesis he proves what is now known as Gödel’s Completeness Theorem: the consistency and completeness of first order logic. He proved that all true propositions, and only these, can be proven within the system. This may seem evident at first glance, even a basic truth of any logical system, but this soon turned out to be incorrect in other systems.

He made a differentiation of capital importance: between truth and provability. That a statement is true does not mean that it is provable (even though this may seem evident nowadays, it was not back in the time).

In the need of a Habilitation Thesis, he decides to face Hilbert’s Second Problem, the consistency of the axioms of arithmetics. He focus now paciently on metamathematics, the study of mathematics itself using mathematical tools. As a result of these days, he published the article On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, in which he presents two completely unexpected results. Theorem VI, known as the First Incompleteness Theorem, states that any recursive consistent axiomatic system strong enough to describe the natural numbers will necessarily be incomplete. This means that there will be true statements, which cannot be deduced using the chosen axioms. The proof makes use of two simple but clever elements:

The former is an encoding system – named after him – based on prime factorization, with which he transforms each proposition to a natural number.

The latter is a version of the liar paradox, in which he replaces truth by provability; informally speaking, the proposition says this statement is unprovable.

He combines them and generates a statement which cannot be proven nor disproven. He shows with an untouchable reasoning the existence of a true statement, which finds itself beyond the axiom’s reach. Therefore, the system is incomplete.

He continues some further steps and presents the Second Incompleteness Theorem:

The system is not able to prove ist own consistency. This means that the axioms are not enough to prove that they imply no contradiction; to prove consistency, one has to do it from beyond the sistem.

The impact of this article was devastating, to the point that it pushed down the mathematical science to one of its deepest crisis, revealing its limits and defining new focuses. In other words, it unveiled its true nature. „It’s all over“ was John Von Neumann’s comment on Gödel’s results on incompleteness, when he heard of them during the last day of a conference. He started working in this direction as well and proved the second theorem independently. Hilbert, one of the world’s leaders mathematics, was not fond of these news. He rejected the idea, but thanks to his collaborator’s help, he surrendered to the evidence and reformulated his axiomatization program for all mathematical areas.

The repercussions of this article reached all fields. It was popularized, twisted and misintepreted. Some people saw the end of all sciences in it. But on the contrary, it was the headstone to the creation and development of new and incredibly fertile research areas. André Weil commented these results concluding that god exists, because mathematics is consistent and the devil exists, because we cannot prove it.

Gödel kept working, now facing Hilbert’s First Problem, the one about the Continuum Hypothesis. The Nazi takeover complicated his position and stay at the University of Vienna since he mixed with his Jewish friends. The murder of one of his colleagues alerted him and, facing danger, he emigrated together with his wife Adele to the United States of America. In the Institute of Advanced Studies in Princeton he published another prominent paper, Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory, which was the first step towards the proof of the independence of the generalized continuum hypothesis with respect to the axiom of choice. He presented and used a axiomatic set theory (NBG), which was a simplification of Bernay’s approach, which again was based on the one created by Von Neumann.

He also proved that any provable proposition about arithmetics in ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory axiomatization with the axiom of choice) is also provable in ZF (Zermelo-Fraenkel set theory axiomatization without the axiom of choice). He also concentrated on physics, where he wrote an article about rotating universes in which time travelling is possible.

Two philosophical documents went unpublished, My philosophical viewpoint and The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy.

In Princeton he forged a strong friendship with Einstein, who later confessed that during the last years of his life his work was not important to him any longer and that he went to the institute only because of the privilege of walking home accompanied by Gödel. His physical and mental health got worse until he died 1978 at the age of 71, admired and respected by the whole scientific community. Without any doubts, he was the greatest mathematical logician of all time. He dedicated his whole life to the passionate search of the absolute truth, solving the most difficult and deepest problems with not only simple but also powerful elements and reasonings of extraordinary elegance. He did not allowed himself to be swayed by his or other’s opinions; he remained always loyal to reason, which guided him to places, where no one else had gotten before, to make the most important discoveries of the century. Like noone else, he was capable of free his mind of prejudices in order to see mathematics in his pure and wild state.

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Español:

Sin embargo, a pesar de hallarse más alla de la percepción sensorial, ciertamente tenemos algo que se podría llamar una percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se puede ver a partir del hecho de que los axiomas se nos imponen a nosotros como ciertos. No veo entonces ningún motivo por el cual deberíamos confiar menos en este tipo de percepción, es decir en la intuición matemática, que en la percepción sensorial.

Kurt Gödel

No por una cuestión de vanidad, ni mucho menos de timidez, resulta problemática la autorreferencia. Hablar sobre sí mismo en filosofía, lógica y matemática conduce no pocas veces a situaciones inesperadas e indeseadas. Las complicaciones se remontan a la Antigua Grecia (aparentemente, toda obra del pensamiento se remonta a la Antigua Grecia); Eubúlides de Mileto lo advirtió en una sencilla frase que usó para hacer pensar a sus seguidores, y acaso también divertirse, en la que se afirma Esta oración es falsa. Un breve razonamiento descubre su naturaleza: se está ante la presencia de una paradoja, la llamada del Mentiroso. Muchos años después, Gödel la usó para descubrir y demostrar la verdad más inquietante de la lógica matemática.

Kurt Friedrich Gödel nació en 1906 en Brünn, cuando todavía era parte del imperio Austro- Húngaro. De chico los padres lo apodaron Señor Por Qué, debido a su insaciable curiosidad. Ninguno en su familia se dedicó a las ciencias exactas, él, en cambio, ingresó a la universidad para estudiar Física. Al frecuentar las reuniones del Círculo de Viena, descubrió el libro Introducción a la filosofía matemática, de Bertrand Russell, y cambió el foco de sus intereses hacia la lógica matemática que, según sus palabras, es una ciencia por encima de todas las otras, que contiene las ideas y principios subyacentes a todas las ciencias. Se doctoró y trabajó como docente en la Universidad de Viena.

En su tesis doctoral demuestra lo que pasó a conocerse como Teorema de Completitud de Gödel: la consistencia y completitud de la lógica de primer orden. Probó que todas las proposiciones verdaderas, y solamente ellas, pueden ser demostradas en el sistema. Esto puede sonar evidente e incluso como una verdad básica de cualquier sistema lógico, pero esto pronto resultó ser incorrecto en otros sistemas.

Hizo una distinción de importancia capital: la de verdad y demostrabilidad. Que un enunciado sea verdadero, no quiere decir que sea demostrable (aunque parezca evidente en la actualidad, no lo era en su época).

Ante la necesidad de una Habilitationsschrift (una obra de investigación para adquirir el título necesario para conseguir un puesto docente en la universidad) se propuso resolver el Segundo Problema de Hilbert, demostrar la consistencia de los axiomas de la aritmética. Se dedicó entonces pacientemente a la metamatemática, el estudio de la matemática con herramientas de la propia matemática. Producto de esos días, fue el artículo On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, en el que presenta dos resultados completamente inesperados. El teorema VI, conocido como Primer Teorema de Incompletitud, establece que cualquier sistema axiomático recursivo consistente en el que se pueda desarrollar la aritmética de números naturales, necesariamente es incompleto. Es decir, hay verdades que no pueden deducirse a partir de los axiomas propuestos. En su demostración utiliza dos elementos sencillos e ingeniosos:

El primero, un sistema de numeración – que hoy lleva su nombre – a base de factorización de primos con el que convierte cada proposición en un número natural.

El otro es una variante de la Paradoja del Mentiroso, en la que cambia verdad por demostrabilidad; de manera informal, la proposición dice este enunciado es indemostrable.

Los combina y genera un enunciado que no se puede probar ni refutar en el sistema. Con un razonamiento irreprochable, muestra la existencia de un enunciado verdadero que está fuera del alcance de deducción de los axiomas. El sistema, por lo tanto, es incompleto. Sigue unos pasos más y presenta su Segundo Teorema de Incompletitud: El sistema no puede demostrar su propia consistencia.

Es decir, no alcanza con los axiomas dados para afirmar que de ellos no se puede obtener una contradicción; para probar su consistencia, hay que hacerlo desde afuera del sistema.

El impacto de este artículo demoledor, fue tal que sumió a la ciencia matemática en una de sus crisis más profundas, la limitó y redireccionó. O, mejor dicho, mostró su realidad. „Bueno, hasta acá llegamos“, dijo John Von Neumann cuando escuchó, en el último día de un congreso, los avances de Gödel en la incompletitud. Se puso a trabajar en el tema y demostró independientemente el Segundo Teorema. Hilbert, el líder mundial de la matemática, no recibió con alegría la noticia, rechazó la idea, pero gracias a la ayuda de sus colaboradores, se rindió ante la evidencia y reformó su programa de axiomatización de todas las áreas de la matemática.

Las repercusiones del artículo llegaron a todos los ámbitos. Fue popularizado, distorsionado y malinterpretado. Hay quienes vieron en él el fin de las ciencias. Muy al contrario, fue la base para la formación y el desarrollo de nuevas y muy fértiles áreas de investigación. André Weil comentó los resultados, concluyendo que dios existe, porque la matemática es consistente y el diablo existe, porque no podemos probarlo.

Gödel siguió trabajando, centrándose en el Primer Problema de Hilbert, el de la Hipótesis del continuo. La llegada al poder del nazismo complicó su puesto y estadía en la universidad, por relacionarse con sus amigos judíos. El asesinato de un colega lo alarmó, y, ante el peligro, emigró junto a su esposa Adele a Estados Unidos. En el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton publicó otro artículo notable, Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory, que fue el primer paso para la prueba de la independecia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo. Presentó y usó la teoría axiomática de conjuntos NBG, una simplificación de un sistema desarrollado por Bernays, basado a su vez en uno creado por Von Neumann.

Probó que toda proposición demostrable sobre la aritmética en la teoría ZFC (Axiomatización de la teoría de conjuntos según Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección) lo es también en ZF (Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección). Se dedicó además a la física, escribió un artículo sobre universos rotatorios en el que es posible el viaje al pasado.

Dejó sin publicar dos escritos filosóficos, My philosophical viewpoint y The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy.

Forjó en Princeton una sólida amistad con Einstein, quien confesó que, en los últimos años de su vida, su trabajo ya no importaba mucho e iba al instituto solamente para tener el privilegio de volver a casa acompañado por Gödel. Su salud física y mental se deterioró lentamente hasta que falleció en 1978 a los 71 años de edad, siendo admirado y respetado por la comunidad científica mundial. Sin lugar a dudas, se trata del lógico matemático más grande de todos los tiempos. Dedicó toda su vida a la búsqueda apasionada de la verdad absoluta, resolvió los problemas más difíciles y profundos con elementos tan sencillos como potentes y razonamientos de una elegancia extraordinaria. No se dejó influenciar por las opiniones ajenas ni propias; se mantuvo siempre fiel a la razón, que lo llevó hasta lugares donde nadie más había llegado, para hacer los descubrimientos más importantes del siglo. Fue capaz, como ninguna otra persona, de liberar su mente de prejuicios para ver a la matemática en un estado puro, salvaje.

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Deutsch:

Obwohl sie sich fernab jedweder Sinneswahrnehmung befindet, so haben wir dennoch so etwas wie eine Wahrnehmung der Objekte der Mengenlehre, wie man aus der Tatsache sehen kann, dass diese Axiome sich uns als wahr aufzwingen. Ich sehe also keinen Grund dazu, weniger Vertrauen auf diese Art der Wahrnehmung, der mathematischen Intuition, als in die Sinneswahrnehmung zu haben.

Kurt Gödel

Es ist nicht eine Frage der Eitelkeit, noch weniger eine der Schüchternheit, dass die Selbstbezogenheit sich als problematisch erweist. Über sich selbst zu reden, führt in der Philosophie, in der Logik und insbesondere in der Mathematik nicht selten zu unerwarteten und unerwünschten Situationen. Die Schwierigkeiten sind auf das Alte Griechenland zurückzuführen (anscheinend lassen sich scheinbar alle Werke über das Denken auf das Alte Griechenland zurückführen); Eubulides von Milet wies bereits darauf mit einer simplen Aussage hin, die er dazu benutzte, um seine Anhänfer zum Nachdenken zu verleiten und möglicherweise auch, um sie zu amüsieren und in der er behauptet, dass diese Aussage falsch ist. Eine kurze Überlegung offenbart dessen Natur: man befindet sich vor einer Antinomie, die man das Lügner-Paradox nennt. Viele Jahre später nutzte Gödel ebendiese um die beunruhigendste Wahrheit der mathematischen Logik zu entdecken und zu beweisen.

Kurt Friedrich Gödel ist 1906 in Brünn geboren, als es noch Teil Östereich-Ungarns war. Wegen seiner unersättlichen Neugier wurde er als Kind von seinen Eltern Herr Warum genannt. Niemand in seiner Familia hat sich den exakten Wissenschaften gewidmet, wohingegen er an der Universität Physik studieren wollte. Er nam an den Versammlungen des Wiener Kreises teil, wo er das Buch Einführung in die mathematische Philosophie von Bertrand Russell entdeckte, was ihn dazu verleitete, seine Aufmerksamkeit auf die mathematische Logik zu lenken, die, seinen Worten nach, eine allen anderen übergeordnete Wissenschaft ist, der die Ideen und Prinzipien aller Wissenschaften zugrunde liegt. Er promovierte und arbeitet als Dozent an der Universität Wien.

In seiner Doktorarbeit beweist er, was heute als Gödelscher Vollständigkeitssatz bekannt ist: die Konsistenz und Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe. Er bewies, dass in diesem System alle wahren Aussagen, und eben nur diese, bewiesen werden können. Das mag vielleicht selbstverständlich klinge und sogar wie eine Grundwahrheit eines logischen Systems wirken, dies sollte sich aber bald in anderen Systemen als falsch erweisen.

Er hat eine kapitale Unterscheidung gemacht: das Wahre und das Beweisbare. Dass eine Aussage wahr ist, bedeutet nicht, dass sie beweisbar ist (auch wenn dies heutzutage offensichtlich scheint, war dies seinerzeit nicht so).

Um seine Habilitationsschrift zu verfassen, machte er sich an Hilbert’s Zweites Problem, jenes der Konsistenz der Axiomen der Arithmetik. Er widmete sich also geduldig der Metamathematik, der Studie der Mathematik mit Werkzeugen eben derselben Mathematik. Schöpfung dieser Tage war Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, in welchem er zwei vollkommen unerwartete Ergebnisse präsentiert. Theorem VI, als Erster Unvollständigkeitssatz bekannt, sagt aus, dass ein rekursives, konsistentes axiomatisches System, dass aussagekräftig genug ist, um die natürlichen Zahlen zu beschreiben, notwendigerweise unvollständig ist. Das bedeutet, dass es Wahrheiten gibt, die nicht aus den Axiomen hergeleitet werden können. In seinem Beweis benutzt er zwei simple und einfallsreiche Elemente:

Das erste ist ein Nummerierungssystem, welches heute seinen Namen trägt und sich der Eigenschaften der Primzahlen zur Nutze macht, um Aussagen in natürliche Zahlen umzuformen.

Das andere ist eine Variante des Lügner-Paradox, in dem er Wahrheit durch Beweisbarkeit ersetzt; informel ausgedrückt bedeutet die Aussage „Diese Aussage ist nicht beweisbar“.

Er kombiniert diese beiden Elemente und konstruiert so eine Aussage, dessen Wahrheitswert im System nicht bestimmt werden kann. Mit einem tadellosem Gedankengang zeigt er die Existenz einer Aussage, die nicht von den Axiomen geschlussfolgert werden kann. Das System ist folglich unvollständig.

Ein paar Schritte weiter folgt der Zweite Unvollständigkeitssatz:

Das System kann seine Konsistenz nicht selbst beweisen. Das bedeutet, dass die Axiomen an sich nicht genug sind, um aussagen zu können, dass aus ihnen kein Widerspruch erhalten werden kann; man muss also die Konsistenz von außerhalb des Systems durchführen.

Der Widerhall dieser vernichtenden Schrift war derartig groß, dass er die mathematische Wissenschaft in eine der tiefsten Kriesen führte, sie setzte ihr grenzen und dessen Pfad neu definierte. Oder besser gesagt, sie seigte ihre wahre Gestalt. „So, das war’s“, soll John Von Neumann gesagt haben, als er am letzten Tag einer Tagung in Königsbergv von Gödel’s Fortschritten in Sachen Unvollständigkeit erfuhr. Er machte sich ans Werk und bewies unabhängig von Gödel den Zweiten Unvollständigkeitssatz. Hilbert, einer der führenden Mathematiker seiner Zeit, empfing diese Nachricht mit Frust, aber Dank der Hilfe seiner Kollegen ergab er sich der offensichtlichen Warheit und reformulierte sein Programm der Axiomatisierung aller Teilgebiete der Mathematik.

Die Nachwirkungen der Schrift hallten in allen Kreisen wider. Sie wurde popularisiert, verzerrt widergegeben und falsch interpretiert. Manche befürchteten in ihr das Ende der Wissenschaften. Ganz im Gegensatz aber war es die Grundlage der Entwicklung von sehr fruchtbaren Forschungsgebieten. André Weil fasste diese Ergebnisse zusammen: „Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können„.

Gödel fuhr seine Forschung mit Hilbert’s Erstem Problem fort, jenem über die Kontinuumshypothese. Da er Kontakt mit seinen jüdischen Freunden pflegte, führte die nazionalsozialistische Machtübernahme zu Schwierigkeiten nicht nur in Bezug auf seine Arbeitsstelle, sondern auch in Bezug auf seinen bloßen Aufenthalt an der Universität. Die Ermordung eines Kollegen war für ihn eine Warnung und in sich in Gefahr wähnend, emigrierte er zusammen mit seiner Ehefrau Adela in den USA. In Princeton‘s Institut für Fortgeschrittene Studien veröffentlichte er ein weiterer wissenschaftlicher Paper, Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory, der ein erster Schritt zum Beweis der Unabhängigkeit der generellen Kontinuumshypothese zum Auswahlaxioms. Er stellte eine Axiomatisierung der Mengenlehre vor (NBG genannt), eine Vereinfachung des von Bernay entwickelten Systems, welches sich widerum auf das von Von Neumann stütze, und nutzte sie.

Darüber hinaus bewies er, dass alle Aussagen über die Arithmetik, die in der ZFC Theorie (Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit dem Auswahlaxiom) bewiesen werden können, weiterhin in ZF (Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ohne dem Auswahlaxiom) gültig sind. Er widmete sich weiterhin der Physik, wo er eine Arbeit über rotierende Universen veröffentlichte, in denen Zeitreisen möglich sind.

Zwei philosophische Schriften blieben unveröffentlicht, My philosophical viewpoint und The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy.

In Princeton entwickelte er eine tiefe Freundschaft mit Albert Einstein, der später zugab, sich in den letzten Jahren seines Lebens weniger für seine wissenschaftliche Arbeit zu interessieren und nur zum Institut zu gehen, um das Privileg genießen zu dürfen, zusammen mit Gödel den Heimweg anzutreten. Seine körperliche und seelische Gesundheit verschlechterte sich langsam, bis er 1978, im Alter von 71 Jahren und von der weltweiten wissenschaftlichen Gemeinschaft bewundert und respektiert, verstarb. Er windmete sein ganzes Leben der leidenschaftlichen Suche nach der absoluten Wahrheit, löste die schwierigsten und tiefgründigsten Probleme mit simplen aber mächtigen Ideen und Gedankengängen außerordentlicher Eleganz. Er ließ sich weder von der Meinung anderer noch der eigenen beeinflussen; blieb immer der Vernunft treu, die ihn zu bisher unbekannten Gebieten der Mathematik führte, um die einflussreichsten Entdeckungen des Jahrhunderts zu machen. Wie wohl kein anderer war er in der Lage, seinen Verstand von Vorurteilen zu befreien, um die Mathematik in ihrem reinen und wilden Zustand zu betrachten.